Polynômes du second degré — Première Spé Maths
Exercice corrigé, rappel de cours et formules clés
Rappel de cours
Le second degré est le premier grand thème de Première Spé. On étudie les polynômes de la forme ax²+bx+c, le calcul du discriminant Δ=b²-4ac qui détermine le nombre de racines réelles. Si Δ>0, il y a deux racines distinctes. Si Δ=0, une racine double. Si Δ<0, pas de racine réelle. On apprend aussi la forme canonique a(x-α)²+β avec α=-b/(2a) et l'éventuelle factorisation du trinôme. On étudie aussi le signe du polynôme du second degré selon le signe de a et du nombre de racines et enfin les variations du trinôme en fonction de a et de α. Ce chapitre est fondamental car il intervient dans la dérivation, les suites, les probabilités et quasiment tous les autres chapitres du programme.
Formules clés
- Δ = b² - 4ac
- x₁ = (-b - √Δ) / 2a
- x₂ = (-b + √Δ) / 2a
- Sommet : α = -b/(2a), β = f(α)
- Forme canonique : a(x - α)² + β
Compétences travaillées
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Exercice corrigé
Énoncé
Soit f(x) = 2x² − 5x + 3. Déterminer les racines de f, puis dresser le tableau de signes de f(x).
Correction (début)
Étape 1 : On calcule Δ = (−5)² − 4×2×3 = 25 − 24 = 1. Δ > 0 donc f admet deux racines réelles distinctes.
Étape 2 : x₁ = (5 − 1)/4 = 1 et x₂ = (5 + 1)/4 = 3/2.
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