Fonction exponentielle — Première Spé Maths
Exercice corrigé, rappel de cours et formules clés
Rappel de cours
L'exponentielle est l'unique fonction égale à sa propre dérivée vérifiant f(0) = 1. Elle est strictement positive sur R et strictement croissante. Propriétés : eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ, eᵃ⁻ᵇ = eᵃ/eᵇ, (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ. Dérivée composée : (eᵘ)' = u'×eᵘ. On résout des équations du type e^f(x) = e^g(x) ⟺ f(x) = g(x) et des inéquations qui conservent le sens.
Formules clés
- eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ
- eᵃ⁻ᵇ = eᵃ/eᵇ
- (eᵘ)' = u' × eᵘ
- e⁰ = 1
- eˣ > 0 pour tout x
Compétences travaillées
ModéliserCalculerRaisonner
Exercice corrigé
Énoncé
Résoudre l'équation e^(2x) − 5eˣ + 6 = 0.
Correction (début)
Étape 1 : On pose X = eˣ (avec X > 0). L'équation devient X² − 5X + 6 = 0.
Étape 2 : Δ = 25 − 24 = 1. X₁ = 2 et X₂ = 3. Donc eˣ = 2 ou eˣ = 3.
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