Produit scalaire — Première Spé Maths
Exercice corrigé, rappel de cours et formules clés
Rappel de cours
Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre réel. Quatre expressions : avec le cosinus de l'angle, avec les coordonnées (xx'+yy'), avec les normes, avec le projeté orthogonal. Il sert à calculer des angles, des longueurs, démontrer des orthogonalités (produit scalaire nul) et travailler avec des équations de cercles. Très présent au bac, souvent combiné avec la géométrie repérée.
Formules clés
- u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(u⃗,v⃗)
- u⃗·v⃗ = xx' + yy' (en coordonnées)
- u⃗·v⃗ = ½(‖u⃗+v⃗‖² − ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²)
- u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0
Compétences travaillées
ReprésenterCalculerRaisonner
Exercice corrigé
Énoncé
Dans un repère orthonormé, on donne A(1;3), B(4;1) et C(2;5). Calculer le produit scalaire des vecteurs AB et AC et en déduire la mesure de l'angle BAC.
Correction (début)
Étape 1 : AB a pour coordonnées (3;−2) et AC a pour coordonnées (1;2). Le produit scalaire vaut 3×1 + (−2)×2 = 3 − 4 = −1.
Étape 2 : ‖AB‖ = √(9+4) = √13, ‖AC‖ = √(1+4) = √5. cos(BAC) = −1/(√13 × √5).
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