Variables aléatoires réelles — Première Spé Maths

Exercice corrigé, rappel de cours et formules clés

Rappel de cours

Les variables aléatoires associent un nombre réel unique à chaque issue d'une expérience aléatoire. On définit la loi de probabilité en listant toutes les valeurs possibles avec leurs probabilités (la somme des probabilités doit faire 1). L'espérance E(X) représente le gain moyen sur un grand nombre de répétitions. La variance V(X) mesure la dispersion autour de l'espérance, et l'écart-type σ(X) = √V(X) s'interprète dans la même unité que X. Les propriétés de linéarité sont essentielles : E(aX+b) = aE(X)+b et V(aX+b) = a²V(X). On utilise ces outils dans des contextes concrets : jeux de hasard, tests, expériences statistiques.

Formules clés

$E(X) = \sum x_i \times p_i$
$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
$E(aX + b) = aE(X) + b$
$V(aX + b) = a^2 V(X)$

Prérequis

Probabilités conditionnelles
Calcul algébrique

Chapitres à revoir avant celui-ci

Probabilités conditionnelles

Compétences travaillées

ModéliserCalculerCommuniquer

Exercice corrigé

Énoncé

Un jeu consiste à lancer un dé équilibré. Si le résultat est 6, on gagne 10€. Sinon, on perd 2€. Soit X le gain algébrique. Déterminer la loi de X et calculer E(X).

Correction (début)

Étape 1 : X prend les valeurs 10 (avec probabilité 1/6) et −2 (avec probabilité 5/6).

Étape 2 : E(X) = 10×(1/6) + (−2)×(5/6) = 10/6 − 10/6 = 0. Le jeu est équitable.

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