Dérivation — Première Spé Maths

Exercice corrigé, rappel de cours et formules clés

Rappel de cours

La dérivation est LE chapitre central de Première Spé. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction grâce au signe de sa dérivée. On étudie tout d'abord le taux d'accroissement d'une fonction sur un intervalle et ensuite on définit le nombre dérivé de la fonction en une valeur. Il est par la suite utilisé pour obtenir l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction en cette valeur. En généralisant, on apprend les fonctions dérivées selon les formules de base : la dérivée de xⁿ est nxⁿ⁻¹, celle de √x est 1/(2√x), celle de 1/x est -1/x². Puis les opérations sur les fonctions usuelles : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, (uv)' = u'v + uv' pour le produit, (u/v)' = (u'v - uv')/v² pour le quotient. Le signe de f'(x) donne les variations de f : si f'(x)>0 alors f est croissante, si f'(x)<0 alors f est décroissante. On utilise la dérivation pour résoudre des problèmes d'optimisation (trouver un maximum ou un minimum). C'est le chapitre le plus fréquent au bac.

Formules clés

$(x^n)' = nx^{n-1}$
$(u + v)' = u' + v'$
$(uv)' = u'v + uv'$
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$

Prérequis

Second degré
Fonctions de référence
Taux de variation

Chapitres à revoir avant celui-ci

Polynômes du second degré

Compétences travaillées

CalculerRaisonnerReprésenter

Exercice corrigé

Énoncé

Soit f(x) = x³ − 3x + 1. Calculer f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variations de f.

Correction (début)

Étape 1 : f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).

Étape 2 : f'(x) = 0 pour x = −1 et x = 1. f'(x) > 0 sur ]−∞; −1[ ∪ ]1; +∞[ et f'(x) < 0 sur ]−1; 1[.

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