Produit scalaire — Première Spé Maths

Exercice corrigé, rappel de cours et formules clés

Rappel de cours

Le produit scalaire est un outil fondamental de géométrie. Il associe à deux vecteurs un nombre réel. Il existe quatre expressions : avec le cosinus de l'angle, avec les coordonnées (xx'+yy'), avec les normes et enfin avec le projeté orthogonal d'un vecteur sur la direction de l'autre. Le produit scalaire sert à calculer des angles entre vecteurs, des longueurs, à démontrer des orthogonalités (deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul) et à travailler avec des équations de cercles. C'est un chapitre très présent dans les exercices du bac, souvent combiné avec la géométrie repérée.

Formules clés

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' \;\text{(en coordonnées)}$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$
$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Prérequis

Vecteurs
Coordonnées
Trigonométrie de base

Chapitres à revoir avant celui-ci

Fonctions trigonométriques

Compétences travaillées

ReprésenterCalculerRaisonner

Exercice corrigé

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne A(1;3), B(4;1) et C(2;5). Calculer le produit scalaire des vecteurs AB et AC et en déduire la mesure de l'angle BAC.

Correction (début)

Étape 1 : AB a pour coordonnées (3;−2) et AC a pour coordonnées (1;2). Le produit scalaire vaut 3×1 + (−2)×2 = 3 − 4 = −1.

Étape 2 : La norme de AB vaut √(9+4) = √13 et la norme de AC vaut √(1+4) = √5. On a cos(BAC) = −1/(√13 × √5).

Connecte-toi pour voir la correction complète et travailler avec des exercices adaptés à ton niveau.

Faire un exercice corrigé QCM sur ce chapitre Explication de cours détaillée