Fonction exponentielle — Première Spé Maths

Exercice corrigé, rappel de cours et formules clés

Rappel de cours

L'exponentielle est l'unique fonction égale à sa propre dérivée vérifiant f(0) = 1. Elle est strictement positive sur R et strictement croissante. Ses propriétés algébriques sont fondamentales : eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ, eᵃ⁻ᵇ = eᵃ / eᵇ, (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ. Pour dériver une composée, (eᵘ)' = u' × eᵘ. L'exponentielle modélise la croissance rapide (populations, intérêts composés, décroissance radioactive). On résout des équations du type e^f(x) = e^g(x), ce qui équivaut à f(x) = g(x) et des inéquations qui conservent le sens car la fonction est strictement croissante.

Formules clés

$e^{a+b} = e^a \times e^b$
$e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
$(e^u)' = u' \times e^u$
$e^0 = 1$
$e^x > 0 \;\text{pour tout } x$

Prérequis

Dérivation
Puissances
Équations

Chapitres à revoir avant celui-ci

Dérivation

Compétences travaillées

ModéliserCalculerRaisonner

Exercice corrigé

Énoncé

Résoudre l'équation e^(2x) − 5eˣ + 6 = 0.

Correction (début)

Étape 1 : On pose X = eˣ (avec X > 0). L'équation devient X² − 5X + 6 = 0.

Étape 2 : Δ = 25 − 24 = 1. X₁ = 2 et X₂ = 3. Donc eˣ = 2 ou eˣ = 3.

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