Fonctions trigonométriques — Première Spé Maths

Exercice corrigé, rappel de cours et formules clés

Rappel de cours

Le cercle trigonométrique et nouvelle mesure d'un angle orienté : le radian. Nouvelles définitions du cosinus et du sinus d'un nombre réel. Les valeurs remarquables à connaître sont cos(0)=1, cos(π/6)=√3/2, cos(π/4)=√2/2, cos(π/3)=1/2, cos(π/2)=0. La relation fondamentale cos²(x)+sin²(x)=1 sert dans presque tous les exercices. Les formules d'addition permettent de développer cos(a+b) et sin(a+b). Les formules de duplication s'en déduisent : cos(2a) = 2cos²(a)-1 = 1-2sin²(a). On découvre également les fonctions trigonométriques avec des propriétés particulières de périodicité et de parité. Leurs variations se déduisent sur le cercle trigonométrique, grâce à ces propriétés. On résout des équations et des inéquations trigonométriques en s'aidant du cercle trigonométrique, en tenant compte des symétries des angles associés. On sait donner les solutions sur un intervalle demandé.

Formules clés

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$
$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
$\cos'(x) = -\sin(x)$
$\sin'(x) = \cos(x)$

Prérequis

Dérivation
Cercle trigonométrique

Chapitres à revoir avant celui-ci

Dérivation

Compétences travaillées

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Exercice corrigé

Énoncé

Résoudre sur [0; 2π] l'équation 2cos²(x) − cos(x) − 1 = 0.

Correction (début)

Étape 1 : On pose X = cos(x). L'équation devient 2X² − X − 1 = 0. Δ = 1 + 8 = 9. X₁ = 1 et X₂ = −1/2.

Étape 2 : cos(x) = 1 donne x = 0. cos(x) = −1/2 donne x = 2π/3 et x = 4π/3.

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